Матрица

Матрица [matrix] — система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид:

Элемент матрицы в общем виде обозначается a_ij— это показывает, что мы имеем число, расположенное на пересечении i-й строки и j -го столбца (разумеется, i и j можно заменить любой другой буквой, но такое обозначение — наиболее распространенное). Соответственно, матрица A  может обозначаться [a_ij]   .

В экономике применяются действительные числа, соответственно М. из таких чисел называются действительными.

М., содержащие в качестве элементов только положительные числа или ноли, — неотрицательные. Таковы, в частности, матрицы коэффициентов прямых материальных затрат в моделях межотраслевого баланса.

В показанной М. m строк и n столбцов, следовательно, это — М. размера m × n. При m = n  имеем квадратную М. (такова М. межотраслевого баланса в стоимостном выражении). В этом случае число m = n  называется порядком М. При m х n это просто прямоугольная М. (ею может быть, например, натуральный межотраслевой баланс).

М. размера m  х 1  называется вектор-столбец, а размера 1 х n — вектор-строка.

Над М. можно производить ряд математических действий (с помощью операций над их элементами); сложение, умножение на скаляр, умножение на М., обращение, транспонирование и др. См. Матричная алгебра.

М., транспонированная по отношению к A = [a_ij] есть М. того же размера, у которой столбцы поменялись местами со строками. Иначе говоря, это [a_ji]. Обратные и транспонированные М. имеют очень большое применение в моделях МОБ. В них также широко применяется разбиение М. на меньшие подматрицы (блоки). М. коэффициентов систем уравнений — инструмент решения задач математического программирования, задач линейной алгебры и др.

 

•   Примеры характерных матриц, имеющих широкое применение в экономике:

«Временнáя матрица»)  — М., составленная из данных, представляющих временные ряды:

g = 1, 2,…, G; t = 1, 2,…,T,

где x_gt — наблюденное значение переменной g в момент времени t.

Матрица Леонтьева (матрица “затраты-выпуск”, см. Межотраслевой баланс):

 

i, j =1,2, …, n

где a_ij — затраты i-го вида продукции, необходимые для производства единицы j-го вида продукции, причем рассматривается экономика, производящая n видов продукции.

Матрица Маркова (М. переходных вероятностей):

i, j = 1, 2, 3, …, n;

 

m_ij = 1,  i = 1, 2, …, n,

где m_ij — вероятность перехода системы, имеющей n возможных состояний, из состояния i в состояние j.

См. также: Блочная матрица, Блочно-диагональная матрица, Блочно-треугольная матрица, Вырожденная матрица, Диагональная матрица, Единичная матрица, Идемпотентная матрица, Квадратная матрица, Транспонированная матрица, Треугольная матрица, а также: Алгебраическое дополнение, Главная диагональ матрицы, Обращение матрицы, Определитель матрицы, Плотность матрицы, Разложимость матрицы, Ранг матрицы.